Exercice en allemand

Auf einem Konto ist am 1. Januar \(2\,000\)  ein Kapital von \(400\)  €. Es wird jährlich mit \(2,5\)  % verzinst. Am Ende jeden Jahres werden noch zusätzlich \(50\)  € eingezahlt. Sei \(K_n\)  das Kapital in Euro am 1. Januar des Jahres  `2000 + n` , ( \(n \in \mathbb{N}\) ). Damit ist \(K_0 = 400\) .

1. a. Berechnen Sie \(K_1\)  und \(K_2\) .
    b. Drücken Sie \(K_{n+1}\)  abhängig von \(K_n\)  aus.

2. Man beabsichtigt die Höhe des Kapitals am 1. Januar \(2020\)  direkt zu berechnen, falls die Sparbedigungen unverändert bleiben. Man definiert dafür eine neue Folge \(\left(u_n\right)\)  durch \(u_n = K_n + 2000\)  für alle natürlichen Zahlen.

    a. Berechnen Sie \(u_0\) , \(u_1\)  und \(u_2\) .
    b. Beweisen Sie, dass \(\left(u_n\right)\)  eine geometrische Folge ist.
    c. Drücken Sie \(u_n\)  in Abhängigkeit von \(n\)  aus. Leiten Sie daraus den Ausdruck von \(K_n\)  in Abhängigkeit von \(n\)  her.
    d. Wie hoch wird das Kapital (auf \(1\)  Cent gerundet) am 1. Januar \(2020\)  sein ?

3. In welchem Jahr (am 1.. Januar) wird das Kapital bei gleichbleibenden Sparbedingungen die Summe von \(1000\)  € überschreiten ?

4. Zu welchem Zinssatz \(p\)  % sollte das Anfangskapital von \(400\)  € angelegt werden, um am 1. Januar \(2010\) , ohne die jährliche Zuzahlung von \(50\)  €, auf \(1000\)  € zu wachsen ? Die Zahl \(p\)  ist auf Zehntel genau zu bestimmen.

Traduction
Un capital de \(400\)  € est investi sur un compte au 1^er janvier 2000, avec un taux d'intérêt annuel de \(2,5\) %. À la fin de chaque année, un montant supplémentaire de \(50\)  € est déposé. Soit \(K_n\)  le capital en euros au 1^er janvier de l'année  `2000 + n` , avec  \(n \in \mathbb{N}\) . Ainsi,  `K_0 = 400` .

1. a. Calculer  \(K_1\)  et  \(K_2\) .
    b. Exprimer  \(K_{n+1}\)  en fonction de  \(K_n\) .

2. On souhaite calculer directement la valeur du capital au 1^er janvier 2020, si les conditions d'épargne restent inchangées. On définit pour cela une nouvelle suite \(\left(u_n\right)\)  par \(u_n = K_n + 2000\)  pour tout nombre naturel.
    a. Calculer  \(u_0\) , \(u_1\)  et  \(u_2\) .
    b. Montrer que  \(\left(u_n\right)\)    est une suite géométrique.
    c. Exprimer  \(u_n\)  en fonction de \(n\) . En déduire l'expression de \(K_n\)  en fonction de \(n\) .
    d. Quelle sera la valeur du capital (arrondie à 1 centime) au 1^er janvier 2020 ?

3. En quelle année (au 1^er janvier) le capital dépassera-t-il la somme de \(1\ 000\)  €, en maintenant les conditions d'épargne inchangées ?

4. À quel taux d'intérêt \(p\)  % le capital initial de \(400\)  € devrait-il être investi pour atteindre \(1\ 000\)  € au 1^er janvier \(2010\) , sans le dépôt annuel de \(50\)  € ? La valeur de \(p\)  doit être déterminée avec une précision d'une décimale.